已知数列{an}中，a1=1，a2=3且2an+1=an+2+an（n∈N+）数

问题解答题

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3且2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N⁺）数列{b_n}的前n项和为S_n，其中b1=-

，bn+1=-

Sn(n∈N+).
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若Tn=

+…+

，求Tn的表达式．

答案

（1）∵2a_n+1=a_n+2+a_n∴数列{a_n}是等差数列，（1分）

∴公差d=a₂-a₁=2∴a_n=2n-1 （3分）

∵b_n+1=-

S_n∴b_n=-

S_n-1（n≥2）

b_n+1-b_n=-

b_{n，∴bn+1= 1
3
bn
又∵b₂=-
2
3
S₁=1
b2
b1
=-2
3
≠1
3
∴数列{b_n}从第二项开始是等比数列，
∴bn=
-3
2
，(n=1)
(1
3
)n-2，(n≥2)
（6分）
（2）∵n≥2时
an
bn
=(2n-1)•3n-2（7分）∴Tn=a1
b1
+a2
b2
++an
bn
=-2
3
+3×30+5×31+7×32++(2n-1)×3n-2
∴3T_n=-2+3×3¹+5×3²+7×3³++（2n-1）×3^n-1（10分）
错位相减并整理得Tn=-
2
3
+(n-1)×3n-1．（12分）}