（1）tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1

∴sin(2α+

π

4

)=sin2α•cos

π

4

+cos2α•sin

π

4

=

2

2

(sin2α+cos2α)

=

2

2

×

2sinα•cosα+(cos2α-sin2α )

sin2α+cos2α

（分子分母同除以cos²α）

=

2

2

×

2tanα+(1-tan2α)

1+tan2α

=1

∴f（x）=2x+1

（2）由（1）得∠A=2α=

π

4

，而∠C=

π

3

，

根据正弦定理易AB=

BC•sin π 3

sin π 4

=

2× 3 2

2 2

=

6

，

sinB=sin[π-(A+C)]=sin75°=

6 + 2

4

S△ABC=

1

2

×AB×BC×sinB=

1

2

×

6

×2×

6 + 2

4

=

3+ 3

2

（3）∵a_n+1=2a_n+1，

∴a_n+1+1=2（a_n+1）

∵a₁=1∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．

可得a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，

∴Sn=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-n-2