a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=na₁a_n+1，①

a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1+a_n+1a_n+2=（n+1）a₁a_n+2，②

①-②，得-a_n+1a_n+2=na₁a_n+1-（n+1）a₁a_n+2，

∴

n+1

an+1

-

n

an+2

=4，

同理，得

n

an

-

n-1

an+1

=4，

∴

n+1

an+1

-

n

an+2

=

n

an

-

n-1

an+1

，

整理，得

2

an+1

=

1

an

+

1

an+2

，

∴{

1

an

}是等差数列．

∵a₁=

1

4

，a₂=

1

5

，

∴等差数列{

1

an

}的首项是

1

a1

=4，公差d=

1

a2

-

1

a1

=5-4=1，

1

an

=4+(n-1)×1=n+3．

∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a97

=97× 4+

97×96

2

×1=5044．

故选B．