若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f

问题解答题

若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x₀不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（1）证明：函数f（x）=2^x具有性质M，并求出对应的x₀的值；
（2）已知函数h(x)=lg

x2+1

具有性质M，求a的取值范围

答案

（1）证明：f（x）=2^x代入f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得：

2x0+1=2x0+2，（2分）

即：2x0=2，解得x₀=1．（5分）

所以函数f（x）=2^x具有性质M．（6分）

（2）h（x）的定义域为R，且可得a＞0．

因为h（x）具有性质M，所以存在x₀，

使h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），

代入得：lg

(x0+1)2+1

=lg

x02+1

+lg

．

化为2（x₀²+1）=a（x₀+1）²+a，

整理得：（a-2）x₀²+2ax₀+2a-2=0有实根．

①若a=2，得x0=-

．（8分）

②若a≠2，得△≥0，即a²-6a+4≤0，解得：a∈[3-

，3+

]，

所以：a∈[3-

，2)∪(2，3+

]．

（若未去掉a=2，扣1分）（14分）

综上可得a∈[3-

，3+

]．（16分）