递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2=6，S4=30（I）求数列{an

问题解答题

递增的等比数列{a_n}的前n项和为Sn，且S₂=6，S₄=30
（I）求数列{a_n}的通项公式．
（II）若b_n=a_nlog

an，数列{b_n}的前n项和为Tn，求T_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小正整数n的值．

答案

（I）∵S₂=6，S₄=30

1-q4

1-q2

=1+q2

∴

a1(1-q2)

1-q

a1(1-q4)

1-q

=30

两式相除可得，

1-q4

1-q2

=1+q2=5

∵数列{a_n}递增，q＞0

∴q=2，a₁=2

∴an=2•2n-1=2ⁿ

（II）∵b_n=a_nlog

an=-n•2ⁿ

∴Tn=-(1•2+2•22+…+n•2n)

设Hn=1•2+2•22+…+n•2n

2H_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹

两式相减可得，-H_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹

=2ⁿ⁺¹（1-n）-2=T_n

∵T_n+n•2ⁿ⁺¹＞50

∴（1-n）•2ⁿ⁺¹-2+n•2ⁿ⁺¹＞50

∴2ⁿ⁺¹＞52

∴最小正整数n的值为5