问题
解答题
已知n次多项式Sn（x）=（1+2x）（1+4x）（1+8x）…（1+2nx），其中n是正整数．记Sn（x）的展开式中x的系数是an，x2的系数是bn．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）证明：bn+1-bn=4n+1-2n+2；
（Ⅲ）是否存在等比数列{cn}和正数c，使得bn=（cn-c）（cn+1-c）对任意正整数n成立？若存在，求出通项cn和正数c；若不存在，说明理由．
答案
（Ⅰ）由题意得，an=2+4+…+2n，即an=
=2n+1-2．2(1-2n) 1-2
（Ⅱ）证明：由Sn(x)=(1+2x)(1+4x)…(1+2nx)，
得Sn+1(x)=(1+2n+1x)•Sn(x)．
所以bn+1=bn+2n+1•an=bn+2n+2(2n-1)，即bn+1-bn=2n+2(2n-1)=4n+1-2n+2．
（Ⅲ）由S1（x）=1+2x，得b1=0．
当n≥2时，
由bn=
(bk-bk-1)=n 
k=2
2k+1(2k-1-1)=4[n k=2
-22-22n 1-4
]=4(2-2n)(1-2-2n 1-2
)，2+2n 3
得bn=
(2n-1-1)(2n-1)．8 3
当n=1时，b1=0也适合上式，故bn=
(2n-1-1)(2n-1)，n∈N*．8 3
因此，存在正数c=
=8 3
和等比数列cn=c•2n-1=2 6 3
•2n，使得bn=（cn-c）（cn+1-c）对于任意6 3
正整数n成立．