随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车

问题解答题

随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注．已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量T_n大致满足关系式：T_n=228a（1.01²ⁿ-1）（n≤24，n∈N^*）．
（1）求Q型车前n个月的销售总量S_n的表达式；
（2）比较两款车前n个月的销售总量S_n与T_n的大小关系；
（3）试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由．
（参考数据：

4.5828

≈1.09，

lg1.09

lg1.01

≈8.66）

答案

（1）Q型车每月的销售量{a_n}是以首项a₁=a，公比q=1+1%=1.01的等比数列；

前n个月的销售总量S_n=

a(1.01n-1)

1.01-1

=100a（1.01ⁿ-1）（n∈N^*，且n≤24）．

（2）∵S_n-T_n=100a（1.01ⁿ-1）-228a（1.01²ⁿ-1）=100a（1.01ⁿ-1）-228a（1.01ⁿ-1）（1.01ⁿ+1）=-228a（1.01ⁿ-1）•（1.01ⁿ+

）．

又1.01ⁿ-1＞0，1.01ⁿ+

＞0，∴S_n＜T_n．

（3）记Q、R两款车第n个月的销量分别为a_n和b_n，

则a_n=a×1.01^n-1．

当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=228a（1.01²ⁿ-1）-228a（1.01^2n-2-1）=228a×（1.01²-1）×1.01^2n-2=4.5828a1.01^2n-2．

b₁=4.5828a（或228×0.0201a），显然20%×b₁＜a₁．

当n≥2时，若a_n＜20%×b_n，

即a×1.01^n-1＜

×4.5828a×1.01^2n-2，

1.01^2（n-1）＞

4.5828

×1.01^n-1，1.01^n-1＞

4.5828

≈1.09，n-1＞

lg1.09

lg1.01

≈8.66．

∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%．