（1）任取x∈R，于是f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，所以f（x）是奇函数． …（3分）

（2）由（1）知f（0）=0，所以g(

1

2

)=f(0)+1=1，…（4分）

g(x)+g(1-x)=f(x-

1

2

)+f(-x+

1

2

)+2=2．…（6分）g( 0 )+g( 

1

4

 )+g( 

1

2

 )+g( 

3

4

 )+g( 1 )=g( 0 )+g( 1 )+g( 

1

4

 )+g( 

3

4

 )+g( 

1

2

 )=2+2+1=5．

（3）假设存在正整数a，使

a •g(n)

g (1-n)

＞n2对一切n∈N^*都成立．

由g(n)=

2an

an+ a

，g(1-n)=1-g(n)=

2 a

a +an

，得

a •g(n)

g (1-n)

=

a •2an

2 a

=an．…（10分）

当a=1和a=2时，不等式aⁿ＞n²显然不成立．…（11分）

猜想当a≥3时，aⁿ≥3ⁿ＞n²．…（12分）

下面证明3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立：

①当n=1时，显然3＞1．

②当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+2C_n¹+4C_n²+…+C_nⁿ×2ⁿ≥1+2n+2n（n-1）=2n²+1＞n²成立．（14分）

则3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整数a=3．…（15分）

证法二：

①当n=1时，3＞1，当n=2时，9＞4，不等式成立．

②假设当n=k（k≥2）时，3^k＞k²，

则当n=k+1时，3^k+1=3×3^k＞3k²=k²+k²+k²＞k²+2k+1=（k+1）²，不等式也成立．…（14分）

则3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整数a=3．…（15分）

（4）如设F（x）=x³，G（x）=（x-a）³+b等均可．…（16分）

则函数G（x）满足的一般性结论为G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．…（18分）

形如设G（x）=F（x-a）+b．G（x）满足的性质为：G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．

或G(x)=F( x-

1

2

 )+b则G( 0 )+G( 

1

n

 )+G( 

2

n

 )+G( 

3

n

 )+…+G( 1 )=(n+1)b等…（18分）