问题
解答题
设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①
（1）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，证明：{Sn}∈W （2）设数列{bn}的通项为bn=5n-2n，且{bn}∈W，求M的取值范围； （3）设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn}∈W，证明：cn＜cn+1． |
答案
（1）设等差数列{an}的公差是d，则a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d=-2，
所以Sn=na1+
d=-n2+9n（2分）n(n-1) 2
由
-Sn+1=Sn+Sn+2 2
[（-n2+9n）-（n+2）2+9（n+2）+2（n+1）2-18（n+1）]=-1＜01 2
得
＜Sn+1，适合条件①；Sn+Sn+2 2
又Sn=-n2+9n=-(n-
)2+9 2
，所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，即Sn≤20，适合条件②81 4
综上，{Sn}∈W（4分）
（2）因为bn+1-bn=5（n+1）-2n+1-5n+2n=5-2n
所以当n≥3时，bn+1-bn＜0，此时数列{bn}单调递减；
当n=1，2时，bn+1-bn＞0，即b1＜b2＜b3，因此数列{bn}中的最大项是b3=7
所以M≥7（8分）
（3）假设存在正整数k，使得ck＞ck+1成立
由数列{cn}的各项均为正整数，可得ck+1≤ck-1
因为
≤ck+1，所以ck+2≤2ck+1-ck≤2（ck-1）-ck=ck--2ck+ck+2 2
由ck+2≤2ck+1-ck及ck＞ck+1，得ck+2＜2ck+2-ck+1=ck+1，故ck+2≤ck+1-1
因为
≤ck+2，所以ck+3≤2ck+2-ck+1≤2（ck+1-1）-ck+1=ck+1-2≤ck-3ck+1+ck+3 2
依此类推，可得ck+m≤ck-m（m∈N*）
设ck=p（p∈N*），则当m=p时，有ck+p≤ck-p=0
这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾！
所以假设不成立，即对于任意n∈N*，都有cn≤cn+1成立．（16分）