参考答案：方程组[α₁-α₂，α₂+α₃，-α₁-aα₂+α₃]X=α₄化为

，
因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以原方程组与方程组

同解，
下面求方程组

的通解．为此先对出其导出组的基础解系及原方程组的一特解．将增广矩阵

用初等行变换化为系数矩阵含最高阶单位矩阵的矩阵：

用基础解系、特解的简便求法得到其基础解系只含一个解向量α=[1，-1，1]^T，特解为η=[1，2，0]^T故所求的通解为
kα+η=k[1，-1，1]^T+[1，2，0]^T，k为任意常数．

解析： 所给方程组由于有无穷多解，则
r(A)=r(α₁-α₂，α₂+α₃，-α₁+aα₂+α₃)＜3．
由

知，必有

从而可求出a．为求其基础解系，需将原方程组恒等变形去掉满秩矩阵，得其同解方程组而求之．