问题
问答题
求空间曲线积分
其中L是圆柱面x2+y2=2y与平面y=z-1的交线，从x轴正向看去取逆时针方向．
答案
参考答案：[分析与求解一] L的方程是[*]L的参数方程是
x=cost， y=1+sint， z=2+sint．
按L的定向t从0到2π，于是代公式得
[*]
其中[*]
[分析与求解二] L是空间中的平面曲线，可用斯托克斯公式转化为求平面上的曲面积分．
圆柱面所截平面y=z-1部分记为∑，按右手法则取上侧，用斯托克斯公式，将曲线积分J，化为∑上的第二类曲面积分，有
[*]
∑在xy平面的投影区域易求，即 Dxy:x2+(y-1)2≤1．
将此曲面积分J投影到xy平面化为二重积分，则
[*]
∑的方程为[*]
[分析与求解三] L是母线平行于z轴的柱面与平面的交线，可投影到xy平面上，然后用格林公式．
由L的方程[*]L在xy平面上的投影曲线记为[*]：x2+(y-1)2=1，z=0，相应地也取逆时针方向，于是代入积分表达式得
[*]
其中Dxy是[*]所围的圆域．
解析：[评注] [*]
本题的[分析与求解三]就是用的这种方法.