问题
解答题
直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2﹣y2=1的右支交于不同的两点A、B．
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
答案
解：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2﹣y2=1后，
整理得（k2﹣2）x2+2kx+2=0．①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故
解得k的取值范围是﹣2＜k＜
．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
则由①式得
②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）．
则由FA⊥FB得：（x1﹣c）（x2﹣c）+y1y2=0．即（x1﹣c）（x2﹣c）+（kx1+1）（kx2+1）=0．
整理得（k2+1）x1x2+（k﹣c）（x1+x2）+c2+1=0．③
把②式及
代入③式化简得
．
解得
可知
使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
