问题
解答题
设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A、B两点. (1)设L的斜率为2,求|AB|的大小; (2)求证:
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答案
(1)依题意得F(1,0),∴直线L的方程为y=2(x-1),
设直线L与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
消去y整理得x2-3x+1=0,y=2(x-1) y2=4x
∴x1+x2=3,x1x2=1.
法一:|AB|=
|x1-x2|=1+k2
•1+k2
=(x1+x2)2-4x1x2
•5
=5.32-4•1
法二:|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.
(2)证明:设直线L的方程为x=ky+1,
设直线L与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),
由
消去x整理得y2-4ky-4=0.x=ky+1 y2=4x
∴y1+y2=4k,y1y2=-4,
∵
•OA
═(x1,y1)•(x2,y2)OB
=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2
=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2
=-4k2+4k2+1-4=-3.
∴
•OA
是一个定值为-3.OB