问题 解答题
设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A、B两点.
(1)设L的斜率为2,求|AB|的大小;
(2)求证:
OA
OB
是一个定值.
答案

(1)依题意得F(1,0),∴直线L的方程为y=2(x-1),

设直线L与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),

联立

y=2(x-1)
y2=4x
消去y整理得x2-3x+1=0,

∴x1+x2=3,x1x2=1.

法一:|AB|=

1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
5
32-4•1
=5

法二:|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.

(2)证明:设直线L的方程为x=ky+1,

设直线L与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),

x=ky+1
y2=4x
消去x整理得y2-4ky-4=0.

∴y1+y2=4k,y1y2=-4,

OA
OB
═(x1,y1)•(x2,y2

=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2

=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2

=-4k2+4k2+1-4=-3.

OA
OB
是一个定值为-3.

单项选择题
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