∵抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，

∴抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，

根据抛物线的焦半径公式得1+

p

2

=5，p=8．

∴抛物线y²=16x，

∴M（1，±4），

∵m＞0，

∴取M（1，4），

∵双曲线

x2

a

-y2=1的左顶点为A（-

a

，0），

∴AM的斜率为

4

1+ a

，

双曲线

x2

a

-y2=1的渐近线方程是y=±

1

a

x，

由已知得

1

a

=

4

1+ a

，

解得a=

1

9

．

故选A．