已知数列{an}是等比数列，a4=e，如果a2，a7是关于x的方程：ex2+kx

问题解答题

已知数列{a_n}是等比数列，a₄=e，如果a₂，a₇是关于x的方程：ex2+kx+1=0，(k＞2

)两个实根，（e是自然对数的底数）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设：b_n=lna_n，S_n是数列{b_n}的前n项的和，当：S_n=n时，求n的值；
（3）对于（2）中的{b_n}，设：c_n=b_nb_n+1b_n+2，而 T_n是数列{c_n}的前n项和，求T_n的最大值，及相应的n的值．

答案

（1）∵a₂，a₇是关于x的方程：ex2+kx+1=0，(k＞2

)两个实根，

∴a₂a₇=

∴a₁²q⁷=

①

∵a₄=e，②

①

②

得a₁q⁴=

=a₅

∴q=e^-3

∴数列的通项是a_n=e×（e^-3）^n-4=e^-3n+13

（2）∵b_n=lna_n=-3n+13，

∴数列{b_n}是一个等差数列

∴数列{b_n}的前n项的和S_n是

[10+(-3n+13)]n

n2+

n，

∴S_n=n时，有

n2+

n=n，

∴n=7，n=0（舍去）

∴n=7即n的值为7．

（3）∵b₁=10，b₂=7，b₃=4，b₄=1，b₅=-2，b₆=-5

∴c₁=280，c₂=28，c₃=-8，c₄=10，从第五项开始，这个数列的项就是负数，

∵T₁=280，

T₂=308

T₃=300

T₄=310

T₅一定小于T₄，

T₆一定小于T₅，依此类推

∴T_n的最大值310，相应的n的值是2．