问题
解答题
设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1且对于任意正整数n，点（an+1，Sn）在直线2x+y-2=0上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：bn=nan，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：当n≥2时，Tn＜4．
答案
（本小题满分12分）
（1）点（an+1，Sn）在直线2x+y-2=0上
∴2an+1+Sn-2=0即∴Sn=2-2an+1 ①
当n≥2时，∴Sn-1=2-2an ②…（3分）
由①-②可得：an=2an+1∴
=an+1 an
（n≥2）又a1=1，a2=1 2
符合上式1 2
数列{an}是以1为首项，
为公比的等比数列1 2
∴an=(
)n-1 …（6分）1 2
（2）由（1）知bn=nan=n(
)n-11 2
∴Tn=1+2(
)1+3(1 2
)2+4(1 2
)3+…+n(1 2
)n-1 …③1 2
∴
Tn=1 2
+2(1 2
)2+3(1 2
)3+4(1 2
)4+…+n(1 2
)n …④1 2
由③-④得∴Tn=4-(
)n-2-n(1 2
)n-1=4-1 2
＜4…（12分）n+2 2n-1