问题 解答题

已知抛物线方程为y2=4x,过Q(2,0)作直线l.

①若l与x轴不垂直,交抛物线于A、B两点,是否存在x轴上一定点E(m,0),使得∠AEQ=∠BEQ?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由?

②若L与X轴垂直,抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点,则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值,试证之.

答案

①设l的方程为:y=k(x-2),设A(x1,y1),B(x2,y2

y=k(x-2)
y2=4x
消去
k
4
y2-y-2k=0
得:
k
4
y2-y-2k=0
y1+y2=
4
k
,y1y2=-8(2分)

若∠AEQ=∠BEQ,则kAE+kBC=0(3分)

即:

y1
x1-m
+
y2
x2-m
=0⇒y1(x2-m)+y2(x1-m)=0(4分)⇒y1x2+y2x1-m(y1+y2)=0⇒y1•
y22
4
+y2
y12
4
-m(y1+y2)=0
⇒-2(y1+y2)-m(y1+y2)=0⇒m=-2(6分)

故存在m=-2,使得∠AEQ=∠BEQ(7分)

②设P(x0,y0)在抛物线上,由抛物线的对称性,不妨设y0>0,则过P点的切线斜率k=(2

x
)′|x=x0=
1
x0
,切线方程为:y-y0=
1
x0
(x-x0)
,且y0=2
x0
(9分)

x=0⇒y=y0-

x0
=
x0
,∴M(0,  
x0
)

x=2⇒y=y0+

2
x0
-
x0
=
x0
+
2
x0
,∴N(2,  
x0
+
2
x0
)
(10分)

则以QN为直径的圆的圆心坐标为O′(2,  

x0
2
+
1
x0
),半径r=
x0
2
+
1
x0
(11分)

|MT|2=|MO′|2-r2=22+(

x0
2
+
1
x0
-
x0
)2-(
x0
2
+
1
x0
)2=22+(
1
x0
-
x0
2
)2-(
1
x0
+
x0
2
)2=4-1-1=2

|MT|=

2
(13分)

单项选择题
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