已知抛物线方程为y2=4x,过Q(2,0)作直线l.
①若l与x轴不垂直,交抛物线于A、B两点,是否存在x轴上一定点E(m,0),使得∠AEQ=∠BEQ?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由?
②若L与X轴垂直,抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点,则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值,试证之.
①设l的方程为:y=k(x-2),设A(x1,y1),B(x2,y2)
由消去y2-y-2k=0得:y2-y-2k=0,y1+y2=,y1y2=-8(2分)
若∠AEQ=∠BEQ,则kAE+kBC=0(3分)
即:+=0⇒y1(x2-m)+y2(x1-m)=0(4分)⇒y1x2+y2x1-m(y1+y2)=0⇒y1•+y2•-m(y1+y2)=0⇒-2(y1+y2)-m(y1+y2)=0⇒m=-2(6分)
故存在m=-2,使得∠AEQ=∠BEQ(7分)
②设P(x0,y0)在抛物线上,由抛物线的对称性,不妨设y0>0,则过P点的切线斜率k=(2)′|x=x0=,切线方程为:y-y0=(x-x0),且y0=2(9分)
令x=0⇒y=y0-=,∴M(0, )
令x=2⇒y=y0+-=+,∴N(2, +)(10分)
则以QN为直径的圆的圆心坐标为O′(2, +),半径r=+(11分)
∴|MT|2=|MO′|2-r2=22+(+-)2-(+)2=22+(-)2-(+)2=4-1-1=2
∴|MT|=(13分)