已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点

问题解答题

已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m．
（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为

，求直线的方程．

答案

（1）把直线y=x+m代入椭圆方程得：4x²+（x+m）²=1

即：5x²+2mx+m²-1=0，

△=（2m）²-4×5×（m²-1）=-16m²+20≥0

解得：-

≤m≤

．

（2）设该直线与椭圆相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程5x²+2mx+m²-1=0的两根，由韦达定理可得：x1+x2=-

，x1•x2=

m2-1

，

∴|AB|=

(x2-x1) 2+(y2-y1) 2

(x2-x1)2[1+(

y2-y1

x2-x1

) 2]

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

2[(-

)2-4

m2-1

]

；

∴m=0．