问题 解答题
选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线L:ρsin2θ=2cosθ,过点A(5,α)(α为锐角且tanα=
3
4
)作平行于θ=
π
4
(ρ∈R)
的直线l,且l与曲线L分别交于B,C两点.
(I)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线L和直线l的普通方程;
(II)求|BC|的长.
答案

(Ⅰ)由题意得,点A的直角坐标为(4,3),

曲线L即 ρ2 sin2θ=2ρcosθ,它的普通方程为:y2=2x,

由于直线l的斜率为1,且过点A(4,3),故直线l的普通方程为:y-3=x-4,即y=x-1.

(Ⅱ)设B(x1,y1)、C(x2,y2),由

y2=2x
y=x-1
可得 x2-4x+1=0,

由韦达定理得x1+x2=4,x1•x2=1,

由弦长公式得|BC|=

1+k2
|x1-x2|=2
6

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