问题
解答题
| 已知双曲线y2-x2=1，过上焦点F2的直线与下支交于A、B两点，且线段AF2、BF2的长度分别为m、n． （1）写出直线AB的斜率k的取值范围； （2）证明mn≥1； （3）当直线AB的斜率k∈[
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答案
（1）所求斜率的范围是-1＜k＜1．
（说明：只要写出范围，不需考查过程）（2分）
（2）易知双曲线上焦点为(0，
)．2
设直线AB的方程为y=kx+
，A(x1，y1)，B(x2，y2)．2
当k=0时，A、B两点的横坐标分别为1和-1，
此时mn=1．（4分）
当k≠0时，将y=kx+
代入双曲线方程，消去x得(1-k2)y2-22
y+k2+2=0．（6分）2
由双曲线的第二定义，知m=-1+
y1，n=-1+2
y2（8分）2
所以，mn=1+2y1y2-
(y1+y2)=2
=1+1+k2 1-k2
＞1．2
-11 k2
综上，知mn≥1．（10分）
（3）记mn=λ，由（2）知，
=λ，1+k2 1-k2
解得k2=
．λ-1 λ+1
由
≤k2≤1 9
，解得1 5
≤λ≤4 5
为所求．（14分）3 2