问题 解答题
设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a>0)相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.
(Ⅰ)证明:a2
3k2
1+3k2

(Ⅱ)若
AC
=2
CB
,△OAB的面积取得最大值时椭圆方程.
答案

(Ⅰ)依题意,直线l显然不平行于坐标轴,

故y=k(x+1)可化为x=

1
k
y-1

x=

1
k
y-1代入x2+3y2=a2,消去x,

(

1
k2
+3)y2-
2
k
y+1-a2=0①(1分)

由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得

△=(-

2
k
)2-4(
1
k2
+3)(1-a2)>0(2分)

化简整理即得a2

3k2
1+3k2
.(☆)(4分)

(Ⅱ)A(x1,y1),B(x2,y2),

由①,得y1+y2=

2k
1+3k2
②(5分)

因为

AC
=(-1-x1,-y1),
CB
=(x2+1,y2),由
AC
=2
CB

得y1=-2y2③(6分)

由②③联立,解得y2=

-2k
1+3k2
④(7分)

△OAB的面积S=

1
2
|OC|•|y1-y2|=
3
2
|y2|

=

3|k|
1+3k2
3|k|
2
3
|k|
=
3
2

上式取等号的条件是3k2=1,即k=±

3
3
(9分)

k=

3
3
时,由④解得y2=-
3
3

k=-

3
3
时,由④解得y2=
3
3

k=

3
3
y2=-
3
3
k=-
3
3
y2=
3
3
这两组值分别代入①,

均可解出a2=5(11分)

经验证,a2=5,k=±

3
3
满足(☆)式.

所以,△OAB的面积取得最大值时椭圆方程是x2+3y2=5(12分)

注:若未验证(说明a2=5,k=±

3
3
)满足(☆)式,扣(1分).

推断题
问答题

天津市某企业(甲方)是专门生产精密机床的重点大型(国务院确定)国有独资企业,与北京某国有独资公司(乙方)于2009年3月5日签订了一份精密机床的购销合同。合同约定,由甲方供应乙方精密机床一台,总价款890万元。合同订明2010年4月1日至20日为交货日期,结算方式采用异地托收承付,采用验货付款,验货期为30天。经甲方要求,乙方以价值420万元的房屋作抵押,但签订合同后未办理抵押登记。因国有资产监督管理部门决定重新任免甲方的总经理和财务负责人,原任总经理为了结其在任职期内的合同事项,在未与乙方事先协商的情况下,于2010年3月20日向乙方发货,并办理托收手续,且在托收凭证上注明验货期为30天。乙方于2010年3月29日收到精密机床后,以甲方提前交货为由通知其开户银行拒绝向其付款,从而引起争议。后经双方协商,乙方同意接受机床,付款期到后,因乙方自主决定与A外资企业合并,拒绝支付货款。
甲企业2010年全年实现盈利1800万元,企业管理当局2011年上半年集体讨论决定将其一部分提取各项基金,剩余利润用于购建福利设施和支付职工福利费用。2011年8月,经国有资产监督管理部门决定,将甲企业改制为同有独资公司,为了保证顺利实施改制,企业负责人集体讨论并决定了职工安置方案和细节步骤,次日即开始实施改制的各项程序。
甲企业改制为甲国有独资公司后,依然从事精密机床的生产业务,公司设立董事会,董事会成员全部由国有资产监督管理机构派出的人员担任,并由国有资产监督管理机构指定董事会成员张某为董事长,某日,张某自行决定在另外一家从事零售业的公司担任副经理,由于未涉及同业竞争,而且张某年轻且精力充沛,不会影响本公司正常的业务开展,公司董事会并没有提出任何异议。
要求:根据以上情况,分别回答以下问题:

张某兼职的行为是否合法说明理由。