问题 解答题
设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a>0)相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.
(Ⅰ)证明:a2
3k2
1+3k2

(Ⅱ)若
AC
=2
CB
,△OAB的面积取得最大值时椭圆方程.
答案

(Ⅰ)依题意,直线l显然不平行于坐标轴,

故y=k(x+1)可化为x=

1
k
y-1

x=

1
k
y-1代入x2+3y2=a2,消去x,

(

1
k2
+3)y2-
2
k
y+1-a2=0①(1分)

由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得

△=(-

2
k
)2-4(
1
k2
+3)(1-a2)>0(2分)

化简整理即得a2

3k2
1+3k2
.(☆)(4分)

(Ⅱ)A(x1,y1),B(x2,y2),

由①,得y1+y2=

2k
1+3k2
②(5分)

因为

AC
=(-1-x1,-y1),
CB
=(x2+1,y2),由
AC
=2
CB

得y1=-2y2③(6分)

由②③联立,解得y2=

-2k
1+3k2
④(7分)

△OAB的面积S=

1
2
|OC|•|y1-y2|=
3
2
|y2|

=

3|k|
1+3k2
3|k|
2
3
|k|
=
3
2

上式取等号的条件是3k2=1,即k=±

3
3
(9分)

k=

3
3
时,由④解得y2=-
3
3

k=-

3
3
时,由④解得y2=
3
3

k=

3
3
y2=-
3
3
k=-
3
3
y2=
3
3
这两组值分别代入①,

均可解出a2=5(11分)

经验证,a2=5,k=±

3
3
满足(☆)式.

所以,△OAB的面积取得最大值时椭圆方程是x2+3y2=5(12分)

注:若未验证(说明a2=5,k=±

3
3
)满足(☆)式,扣(1分).

填空题
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