设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a>0)相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点. (Ⅰ)证明:a2>
(Ⅱ)若
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(Ⅰ)依题意,直线l显然不平行于坐标轴,
故y=k(x+1)可化为x=
y-11 k
将x=
y-1代入x2+3y2=a2,消去x,1 k
得(
+3)y2-1 k2
y+1-a2=0①(1分)2 k
由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得
△=(-
)2-4(2 k
+3)(1-a2)>0(2分)1 k2
化简整理即得a2>
.(☆)(4分)3k2 1+3k2
(Ⅱ)A(x1,y1),B(x2,y2),
由①,得y1+y2=
②(5分)2k 1+3k2
因为
=(-1-x1,-y1),AC
=(x2+1,y2),由CB
=2AC
,CB
得y1=-2y2③(6分)
由②③联立,解得y2=
④(7分)-2k 1+3k2
△OAB的面积S=
|OC|•|y1-y2|=1 2
|y2|3 2
=
≤3|k| 1+3k2
=3|k| 2
|k|3 3 2
上式取等号的条件是3k2=1,即k=±
(9分)3 3
当k=
时,由④解得y2=-3 3
;3 3
当k=-
时,由④解得y2=3 3
.3 3
将k=
,y2=-3 3
及k=-3 3
,y2=3 3
这两组值分别代入①,3 3
均可解出a2=5(11分)
经验证,a2=5,k=±
满足(☆)式.3 3
所以,△OAB的面积取得最大值时椭圆方程是x2+3y2=5(12分)
注:若未验证(说明a2=5,k=±
)满足(☆)式,扣(1分).3 3