P为椭圆x225+y216=1上一点，左、右焦点分别为F1，F2．（1）若PF1

问题解答题

P为椭圆

=1上一点，左、右焦点分别为F₁，F₂．
（1）若PF₁的中点为M，求证|MO|=5-

|PF1|；
（2）若∠F₁PF₂=60°，求|PF₁|•|PF₂|之值；
（3）求|PF₁|•|PF₂|的最值．

答案

（1）证明：在△F₁PF₂中，

∵MO为中位线，

∴|MO|=

|PF2|

2a-|PF1|

=a-

|PF1|

=5-

|PF₁|…．（3分）

（2）∵|PF₁|+|PF₂|=10，

∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2|PF₁|•|PF₂|，

在△PF₁F₂中，cos 60°=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

，

∴|PF₁|•|PF₂|=100-2|PF₁|•|PF₂|-36，

∴|PF₁|•|PF₂|=

．…（8分）

（3）由点P（x，y）处的焦半径公式|PF₁|=5+

x，|PF₂|=5-

x，

∴|PF₁|•|PF₂|=25-

x2，

∵|x|≤5，∴0≤x²≤25，

∴16≤|PF₁|•|PF₂|≤25．

∴|PF₁|•|PF₂|的最小值为16，|PF₁|•|PF₂|的最大值为25．