（1）∵函数f（x）=x²-16x+q+3在区间[-1，1]上单调递减，

∴函数在区间[-1，1]上存在零点可得，

f(-1)≥0 f(1)≤0

即

20+q≥0 -12+q≤0

∴-20≤q≤12

（2）证明：假设存在常数t（t≥0）满足题意，分三种情况求

①当

0≤t≤8 8-t≥10-8

，即0≤t≤6时，

当x=8时，取到最小值f（8）；当x=t时，取到最大值f（t），

∴f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，

∴区间长度为t²-16t+P+3-（p-61）=t²-16t+64=12-t．

∴t²-15t+52=0，

∴t=

15- 17

2

，t=

15+ 17

2

（舍）

②当

0≤t≤8 8-t＜10-8

即6≤t＜8时，D=[f（8），f（10）]=[p-61，p-57]

∴区间长度为p-57-（p-61）=4=12-t，

∴t=8．经检验t=8不合题意，舍去．

③当t≥8时，函数f（x）在[q，10]上单调递增，

∴f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，即[t²-16t+p+3，p-57]．

∴区间长度为p-57-（t²-16t+p+3）=-t²-16t-60=12-t，

∴t²-17t+72=0，

∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意．

综上知，存在常数t=8或t=9，或t=

15- 17

2

时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t