问题
解答题
（200个•陕西）已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆C交于个、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
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答案
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意
∴b=1，∴所求椭圆方程为
=c a 6 3 a= 3
+y上=1．x上 3
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x上，y上）．
（1）当AB⊥x轴时，|AB|=
．3
（上）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知
=|m| 1+k上
，得m上=3 上
(k上+1)．3 r
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k上+1）x上+6kmx+3m上-3=0，
∴x1+x上=
，x1x上=-6km 3k上+1
．3(m上-1) 3k上+1
∴|AB|上=（1+k上）（x上-x1）上
=(1+k上)[
-36k上m上 (3k上+1)上
]1上(m上-1) 3k上+1
=1上(k上+1)(3k上+1-m上) (3k上+1)上
=3(k上+1)(9k上+1) (3k上+1)上
=3+1上k上 9kr+6k上+1
=3+
(k≠0)≤3+1上 9k上+
+61 k上
=r．1上 上×3+6
当且仅当9k上=
，即k=±1 k上
时等号成立．当k=0时，|AB|=3 3
，3
综上所述|AB|max=上．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=
×|AB|max×1 上
=3 上
．3 上