问题
解答题
| 过点P（1，0）作曲线C：y=x2（x∈（0，+∞）的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1．又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，…．依此下去，得到一系列点M1，M2…，Mn，…，设它们的横坐标a1，a2，…，an，…，构成数列为{an}． （1）求证数列{an}是等比数列，并求其通项公式； （2）令bn=
|
答案
（1）对y=x2求导数，得y'=2x，切点是Mn（an，an2）的切线方程是y-an2=2an（x-an）．（2分）
当n=1时，切线过点P（1，0），即0-a12=2a1（1-a1），得a1=2；
当n＞1时，切线过点Pn-1(an-1，0)，即0-
=2an(an-1-an)，得a 2n
=2an an-1
所以数列{an}是首项a1=2，公比为2的等比数列．
所以数列{an}的通项公式为an=2n，n∈N*（6分）
（2）∵bn=
，an=2n，∴bn=n an n 2n
Sn=
+1 21
+2 22
+…+3 23
①n 2n
2Sn=
+1 22
+…+2 23
+n-1 2n
②n 2n+1
①-②，得-Sn=
+1 2
+1 22
+…+1 23
-1 2n
=n 2n+1
-
(1-1 2
)1 2n 1- 1 2
=1-n 2n+1
-1 2n
=1-n 2n+1 3 2n+1