证明：设

a2

a1

=

a3

a2

=

a4

a3

=

a5

a4

=q，

由题设条件，得a₁（1+q+q²+q³+q⁴）=

4

a1q4

（1+q+q²+q³+q⁴），

∴（a12q⁴-4）（1+q+q²+q³+q⁴）=0，

∴a1q2=±2，或1+q+q²+q³+q⁴=0．

①若a1q2=±2，则±2(

1

q2

+

1

q

+1+q+q2)=S，

∴S=±2[(q+

1

q

)2+(q+

1

q

)-1]=±2[（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

]，

∴由已知条件得（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

∈R，且|（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

|≤1．

令q+

1

q

+

1

2

=h（cosθ+isinθ），则h2(cos2θ+isin2θ)-

5

4

∈R，

∴sin2θ=0．

-1≤h²（cos2θ+isin2θ）-

5

4

≤1，

∴

1

4

≤h2(cos2θ+isin2θ)≤

9

4

，

∴cos2θ＞0，∴θ=kπ，k∈Z．

∴q+

1

q

∈R，再令q=r（cosα+isinα），r＞0．

则q+

1

q

=（r+

1

r

）cosα+i（r-

1

r

）sinα∈R，

∴sinα=0，或r=1．

若sinα=0，则q=±r为实数，

此时q+

1

q

≥2，或q+

1

q

≤-2．

此时，q+

1

q

+

1

2

≥5，或q+

1

q

+

1

2

≤-

3

2

．

此时，由|（q+

1

q

+

1

2

）²-

5

4

|≤1，知q=-1，|a₁|=2．

若r=1，仍有|a₁|=2，故此五点在同一圆上．

②若1+q+q²+q³+q⁴=0，则|q|=1，

此时|a₁|=|a₂|=|a₃|=|a₄|=|a₅|，

故此五点共圆．

综上，复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在复平面上所对应的点位于同一圆周上．