问题
解答题
已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且
（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值； （2）当λ＞0时，证明
|
答案
（1）由已知x1=x2=1，且
=λx3 x2 x2 x1
∴x3=λ，同理可知x4=λ3，x5=λ6，若x1、x3、x5成等比数列，则x32=x1x5，即λ2=λ6．而λ≠0，解得λ=±1．
（2）证明：（Ⅰ）由已知λ＞0，x1=x2=1及y1=y2=2，可得xn＞0，yn＞0．由不等式的性质，有
≥λyn+1 yn
≥λ 2yn yn-1
…≥yn-1 yn-2
λ n-1
=λn-1；y2 y1
另一方面，
=λxn+1 xn
=λ 2xn xn-1
…λ n-1xn-1 xn-2
=λn-1．x2 x1
因此，
≥λ n-1=yn+1 yn
（n∈N*）．故xn+1 xn
≤xn+1 yn+1
（n∈N*）．xn yn
（Ⅱ）当λ＞1时，由（Ⅰ）可知，yn＞xn≥1（n∈N*）．
又由（Ⅰ）
≤xn+1 yn+1
（n∈N*），则xn yn
≥yn+1-xn+1 xn+1
，yn-xn xn
从而
≥yn+1-xn+1 yn-xn
（n∈N*）．xn+1 xn
∴
+x1-y1 x2-y2
+…+x2-y2 x3-y3
=xn-yn xn+1-yn+1
＜1-(
)21 λ 1- 1 λ
(n∈N*)λ λ-1