问题
解答题
已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为F1，F2，离心率为
（1）求此双曲线的标准方程； （2）若直线系kx-y-3k+m=0（其中k为参数）所过的定点M恰在双曲线上，求证：F1M⊥F2M． |
答案
（1）∵e=
，∴2
=c a
，∴c2=2a2=a2+b2，∴a=b，2
∴设双曲线方程为x2-y2=a2（a＞0），∵双曲线经过(4，-
)，∴16-10=a2即a2=6，10
∴所求双曲线方程为
-x2 6
=1．----------（4分）y2 6
（2）∵直线系方程可化为k（x-3）-y+m=0
∴直线系过定点M（3，m）．------------（5分）
∵M（3，m）在双曲线上，∴9-m2=6，，∴m2=3
又双曲线焦点坐标为F1(-2
，0)，F2(23
，0)3
∴kF1M=
，kF2M=m 3+2 3
-----------（7分）m 3-2 3
∴kF1M•kF2M=
=-1∴F1M⊥F2M----------（10分）m2 (3+2
)(3-23
)3