问题
解答题
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上．若椭圆上的点A(1，
（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标． （2）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，当△OMN的面积取得最大值时，求直线MN的方程． |
答案
（1）设椭圆的方程为
+x2 a2
=1（a＞b＞0）y2 b2
∵椭圆上的点A(1，
)到焦点F1、F2的距离之和等于4，3 2
∴
，2a=4
+1 a2
=13 4 b2
∴a=2，b=1
∴c=
=a2-b2 3
∴椭圆C的方程为
+y2=1，焦点坐标为(-x2 4
，0)，(3
，0)；3
（2）MN斜率不为0，设MN方程为x=my+1．
联立椭圆方程：
+y2=1可得（m2+4）y2+2my-3=0x2 4
记M、N纵坐标分别为y1、y2，
则S△OMN=
|OQ|×|y1-y2|=1 2
×1×1 2
=16m2+48 m2+4 2 m2+3 m2+4
设t=
(t≥3)m2+3
则S=
=2t t2+1
(t≥2 t+ 1 t
)，该式在[3
，+∞)单调递减，3
∴在t=
，即m=0时S取最大值3
．3 2
综上，直线MN的方程为x=1．