（1）∵非零向量列{

an

}满足：

a1

=（1，1），

an

=（x_n，y_n）=

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1） （n≥2），

∴

a1

=（1，1），

a2

=

1

2

（0，2）=（0，1），

a3

=

1

2

（-1，1）=（-

1

2

，

1

2

），

∴|

a1

|=

12+12

=

2

，|

a2

|=

02+12

=1，|

a3

|=

(- 1 2 )2+( 1 2 )2

=

2

2

．

∵|

an

|=

xn2+yn2

，

∴|

an+1

|=

xn+12+yn+12

=

( xn-yn 2 )2+( xn+yn 2 )2

=

2

2

xn2+yn2

，

∴

| an+1 |

| an |

=

2

2

（常数），

∴{|

an

|}是首项|

a1

|=

2

，公比q=

2

2

的等比数列．

（2）∵

an-1

•

an

=（x_n-1，y_n-1）•

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）

=

1

2

（xn-12+yn-12）=

1

2

|

an-1

|²，

∴cosθ_n=

an-1 • an

| an-1 |•| an |

=

1 2 | an-1 |

| an |

=

2

2

，

∴θ_n=

π

4

，n≥2．

∴b_n=

π

4n(n-1)θn

=

π

4n(n-1)• π 4

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，

∴S_n=b₂+b₃+…+b_n

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）

=1-

1

n

．

∴S₂₀₁₃=1-

1

2013

=

2012

2013

．