问题
解答题
已知x1，x2是函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0）的两个零点，函数f（x）的最小值为-a，记P={x|f（x）＜0，x∈R}
（ⅰ）试探求x1，x2之间的等量关系（不含a，b）；
（ⅱ）当且仅当a在什么范围内，函数g（x）=f（x）+2x（x∈P）存在最小值？
（ⅲ）若x1∈（-2，2），试确定b的取值范围．
答案
（1）由题意可得
=-a即b2-4ac=4a2，所以x1，2=4ac-b2 4a
=-b± 4a2 2a -b±2a 2a
所以|x1-x2|=2…5'
（2）由f（x）＜0得
＜x＜-b-2a 2a
，g（x）=ax2+（b+2）x+1，对称轴为x°=--b+2a 2a b+2 2a
从而有
＜--b-2a 2a
＜b+2 2a
，故有a＞1…8'-b+2a 2a
（3）x1，2=
∈（-2，2），从而有-2＜-b±2a 2a
＜2，-2＜-b-2a 2a
＜2…10'-b+2a 2a
所以-1＜
＜3或-3＜-b 2a
＜1从而有-3＜-b 2a
＜3，|b|＜6a，b2＜36a2，-b 2a
因为b2=4a+4a2，所以4a+4a2＜36a2，a＞
，b2=4a+4a2＞4(1 8
+1 8
)=1 64 9 16
所以b的取值范围为(-∞，-
)∪(3 4
，+∞)…16'3 4