问题
填空题
已知抛物线y=x2上有一条长为2的动弦AB，则AB中点M到x轴的最短距离为______．
答案
设直线AB的方程为y=kx+b，联立
，化为x2-kx-b=0，y=kx+b y=x2
由题意可得△=k2+4b＞0．
∴x1+x2=k，x1x2=-b．
∵|AB|=
=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=2，(1+k2)(k2+4b)
∴b=
．4-k2-k4 4(1+k2)
AB中点M到x轴的距离=
=y1+y2 2
=
+x 21 x 22 2 (x1+x2)2-2x1x2 2
=
=k2+2b 2 k2+ 4-k2-k4 2(1+k2) 2
=
(k2+1+1 4
-1)≥4 1+k2
(21 4
-1)=(k2+1)• 4 k2+1
．3 4
当且仅当k=±1是取等号．
因此AB中点M到x轴的最短距离为
．3 4
故答案为
．3 4