因为f（x）=x|x|+bx+c=

x2+bx+c x≥0 -x2+bx+c x＜0

，

对于①当x≥0时，f'（x）=2x+b≥0，所以y=f（x）递增，当x＜0时，f'（x）＞0，所以y=f（x）递增又y=f（0）=c连续．故当b≥0时，函数y=f（x）是单调函数； ①对．

对于②因为f（x）=

x2+c x≥0 -x2+c x＜0

当x≥0时无根，当x＜0时，有一根x=-

c

．故当b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；②对．

对于③设g（x）=x|x|+bx，因为g（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx关于（0，0）对称，又函数y=f（x）的图象可以由g（x）=x|x|+bx的图象上下平移c个单位得到．故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；故③对．

对于④分各种情况来讨论b，c，并求出对应方程的根，就可说明④成立．故④对．

故选  D．