问题 解答题

设数列{an}前n项和为Sn,已知a1=a(a≠4),an+1=2Sn+4n(n∈N*

(Ⅰ)设b n=Sn-4n,求证:数列{bn}是等比数列;

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅲ)若an+1≥an(n∈N*),求实数a取值范围.

答案

(Ⅰ)证明:依题意得:Sn+1-Sn=an+1=2Sn+4n,即Sn+1=3Sn+4n

由此得Sn+1-4n+1=3(Sn-4n)即bn+1=3bn,…(2分)

∴数列{bn}是公比为3的等比数列.         …(3分)

(Ⅱ)∵bn=Sn-4n=(a-4)•3n-1

Sn=4n+(a-4)•3n-1

∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×4n-1+2(a-4)•3n-2,…(6分)

n=1时,a1=1

an=

4n-1+2(a-4)•3n-2
a,n=1
…(7分)

(Ⅲ)∵an+1=3×4n+2(a-4)•3n-1

∴an+1-an=4•3n-2[9•(

4
3
)n-2+a-4]≥0

设f(n)=9•(

4
3
)n-2+a-4,则f(n)≥0,…(9分)

∵当n≥2时,f(n)是递增数列,∴f(n)的最小值为f(2)=a+5…(10分)

∴当n≥2时an+1-an≥0恒成立,等价于a+5≥0,即a≥-5…(11分)

又a2≥a1等价于2a1+4≥a1,即a≥-4.…(13分)

综上,所求的a的取值范围是[-4,4)∪(4,+∞).…(14分)

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