设数列{an}前n项和为Sn,已知a1=a(a≠4),an+1=2Sn+4n(n∈N*)
(Ⅰ)设b n=Sn-4n,求证:数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)若an+1≥an(n∈N*),求实数a取值范围.
(Ⅰ)证明:依题意得:Sn+1-Sn=an+1=2Sn+4n,即Sn+1=3Sn+4n,
由此得Sn+1-4n+1=3(Sn-4n)即bn+1=3bn,…(2分)
∴数列{bn}是公比为3的等比数列. …(3分)
(Ⅱ)∵bn=Sn-4n=(a-4)•3n-1,
∴Sn=4n+(a-4)•3n-1,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×4n-1+2(a-4)•3n-2,…(6分)
n=1时,a1=1
∴an=
…(7分)3×4n-1+2(a-4)•3n-2 a,n=1
(Ⅲ)∵an+1=3×4n+2(a-4)•3n-1,
∴an+1-an=4•3n-2[9•(
)n-2+a-4]≥04 3
设f(n)=9•(
)n-2+a-4,则f(n)≥0,…(9分)4 3
∵当n≥2时,f(n)是递增数列,∴f(n)的最小值为f(2)=a+5…(10分)
∴当n≥2时an+1-an≥0恒成立,等价于a+5≥0,即a≥-5…(11分)
又a2≥a1等价于2a1+4≥a1,即a≥-4.…(13分)
综上,所求的a的取值范围是[-4,4)∪(4,+∞).…(14分)