数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，an+1=Sn+1(n∈N*)，数列{

问题解答题

数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，an+1=Sn+1(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，且b₅=9，b₇=13．

（I）t为何值，数列{a_n}是等比数列？

（II）在（I）的条件下，若cn=an•bn(n∈N*)，设TN为数列{cn}的前n项和，求Tn．

答案

（I）∵a_n+1=S_n+1，

∴当n≥2时，a_n=S_n-1+1，

两式相减，得a_n+1-a_n=a_n，

∴a_n+1=2a_n，

要使数列{a_n}是等比数列，当且仅当

=2，即

t+1

=2，

∴t=1．

故t=1时，数列{a_n}是等比数列．

（II）∵数列{b_n}为等差数列，则公差d=

(b7-b5)=

(13-9)=2，

∴首项b₁=b₅-4d=9-4×2=1，

∴b_n=2n-1，

由（I）知，an=2n-1，n∈N^*，

∴c_n=a_n•b_n=2^n-1，n∈N^*

∴Tn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1，①

∴2Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+（2n-1）×2ⁿ，②

①-②，得-T_n=1×2⁰+2（2¹+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）×2ⁿ，

∴T_n=3+（2n-3）×2ⁿ．