（1）设函数f（x）=）=ax²+bx+c，∵f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x

∴c=1，且a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x．

∴2a=2，a+b=0，解得a=1，b=-1，

故函数f（x）的表达式为f（x）=x²-x+1．

（2）由于f（x）在区间[2a，a+1]上单调，且二次函数f（x）的图象的对称轴为 x=1，

故有

2a＜a+1 2a≥1

，或

2a＜a+1 a+1≤1

． 解得

1

2

≤a＜1，或a≤0．

故a的取值范围为[

1

2

，1）∪（-∞，0]．