问题
解答题
设数列{an}，{bn}满足：a1=4，a2=
（1）用an表示an+1；并证明：∀n∈N+，an＞2； （2）证明：{ln
（3）设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，Sn与2(n+
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答案
（1）由已知得a1=4，a2=
，所以b1=1故an+1bn+1=anbn═a1b1=4；5 2
由已知：an＞0，a1＞2，a2＞2，bn=
∴an+1=4 an
+an 2
，2 an
由均值不等式得an+1＞2
故∀n∈N+，an＞2
（2）
=(an+1+2 an+1-2
)2，an+1+2=an+2 an-2
，(an+2)2 2an
an+1-2=(an-2)2 2an
所以ln
=2lnan+1+2 an+1-2
，所以{lnan+2 an-2
}是等比数列an+2 an-2
（3）由（2）可知ln
=(ln3)×2n-1=ln32n-1∴an=an+2 an-2 32n-1+1 32n-1-1
设Cn=
=4 32n-1
＜4 (32n-2)(32n-2)
Cn-1，（n≥2）1 4
Cn＜
Cn-1＜(1 4
)2Cn-2＜＜(1 4
)n-1C1=2(1 4
)n-11 4
∴当n≥2时，an＜2+2(
)n-11 4
Sn=a1+a2++an＜4+2(n-1)+2[
+(1 4
)2++(1 4
)n-1]1 4
=2n+2+2×
(1-1 4
)1 4n-1 1- 1 4
=2n+2+
(1-2 3
)＜2n+1 4n-1
．8 3