设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a（a≠3），Sn+1=2Sn+3n，

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a（a≠3），S_n+1=2S_n+3ⁿ，n∈N^*．

（1）设b_n=S_n-3ⁿ，n∈N^*，证明数列{b_n}为等比数列；

（2）求数列{a_n}的通项公式；

（3）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范围．

答案

（1）当a≠3时，

bn+1

Sn+1-3n+1

Sn-3n

2Sn+3n-3n+1

Sn-3n

所以{b_n}为等比数列．（4分）

（2）b₁=S₁-3=a-3，（1分）b_n=（a-3）×2^n-1．（2分）

所以S_n-3ⁿ=（a-3）×2^n-1（3分）a_n=S_n-S_n-1，n≥2，n∈N^*an=

2×3n-1+(a-3)×2n-2

，

n=1

n≥2

；（6分）

（3）a_n+1≥a_n，

a2＞a1

an+1＞an

，

n＞2

，（2分）

a≥-9（5分）

所以a≥-9，且a≠3．（6分）