已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1（-c

问题解答题

已知双曲线C：

=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．且c-a=2-

．又双曲线C上的任意一点E满足||EF1|-|EF2||=2

（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C上的点P满足

PF1

•

PF2

=1，求|PF1|•|PF2|的值；
（3）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

答案

（1）由||EF1|-|EF2||=2

⇒a=

∵c-a=2-

，

&∴c=2．

∴b2=c2-a2=1.

∴双曲线C的方程为

-y2=1．

（2）设|

PF1

|=r1，|

PF2

|=r2，不妨设r1＞r2＞0，∠F1PF2=θ．

由

PF1

•

PF2

=1⇒r1r2cosθ=1.

又r1-r2=2

⇒

-2r1r2=12.

在△PF1F2中，由余弦定理得16=

-2r1r2cosθ.

∴r1

=3.

∴|PF₁|•|PF₂|=3

（3）联立

y=kx+m

-y2=1

，整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0

∵直线与双曲线有两个不同交点，

∴1-3k²≠0且△=12（m²+1-3k²）＞0．①

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，

，∴kAB=

1-3k2

3km

1-3k2

(k≠0，m≠0).

整理得3k²=4m+1．②

将②式代入①式，得m²-4m＞0，∴m＞4或m＜0．

又3k2=4m+1＞0(k≠0)即m＞-

．

∴m的取值范围为m＞4或-

＜m＜0．