问题
解答题
已知f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对于定义域内任意的x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求证f（x）是偶函数；
（2）求证f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（a+1）＞f（a）+1，求实数a的取值范围．
答案
（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），
令x1=x2=1，代入上式解得f（1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0
令x1=x2=-1，代入上式解得f（1）=f（-1）+f（-1）=0∴f（-1）=0，
令x1=-1，x2=x代入上式，∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）设x2＞x1＞0，则f(x2)-f(x1)=f(x1•
)-f(x1)=f(x1)+f(x2 x1
)-f(x1)=f(x2 x1
)x2 x1
∵x2＞x1＞0，∴
＞1，∴f(x2 x1
)＞0，x2 x1
即f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（2）=1
∴f（a+1）＞f（a）+1=f（a）+f（2）=f（2a）
∵f（x）是偶函数；
∴f（|x|）=f（-x）=f（x）则f（a+1）＞f（2a）即f（|a+1|）＞f（|2a|）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∴|a+1|＞|2a|
两边平方得a2+2a+1＞4a2
即3a2-2a-1＜0解得-
＜a＜11 3
