问题 选择题
如果对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,而且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf (x)=0对任意实数x都成立,则称f(x) 是一个“λ-伴随函数”.有下列关于“λ-伴随函数”的结论:①f(x)=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”;②f(x)=x2是一个“λ-伴随函数”;③“
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-伴随函数”至少有一个零点.其中不正确的序号是(  )
A.①②B.②③C.③D.①
答案

对于①,设f(x)=C(C是常数)是一个“λ-伴随函数”,则f(x+λ)+λf (x)=(1+λ)C=0,

当λ=-1时,C可以取遍实数集,因此f(x)=C(C是常数)必定是“λ-伴随函数”,

可得f(x)=0 不是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”,故①不正确;

对于②,假设f(x)=x2是一个“λ-伴随函数”,则f(x+λ)+λf (x)=(x+λ)2+λx2=0,

即(1+λ)x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立,所以λ+1=2λ=λ2=0,而找不到λ使此式成立,

所以f(x)=x2不是一个“λ-伴随函数”,故②不正确.

对于③,令x=0,得f(0+

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)+
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f(0)=0,所以f(
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)=-
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f(0).

当f(0)=0时,显然f(x)=0有实数根;

当f(0)≠0时,f(

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)•f(0)=-[
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2
f(0)]2<0.因为函数f(x)函数图象是连续不断的,

所以f(x)在(0,

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)上必有实数根,

综上所述,因此“

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2
-伴随函数”至少有一个零点.故③正确.

故答案为:A

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