问题
选择题
如果对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,而且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf (x)=0对任意实数x都成立,则称f(x) 是一个“λ-伴随函数”.有下列关于“λ-伴随函数”的结论:①f(x)=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”;②f(x)=x2是一个“λ-伴随函数”;③“
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答案
对于①,设f(x)=C(C是常数)是一个“λ-伴随函数”,则f(x+λ)+λf (x)=(1+λ)C=0,
当λ=-1时,C可以取遍实数集,因此f(x)=C(C是常数)必定是“λ-伴随函数”,
可得f(x)=0 不是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”,故①不正确;
对于②,假设f(x)=x2是一个“λ-伴随函数”,则f(x+λ)+λf (x)=(x+λ)2+λx2=0,
即(1+λ)x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立,所以λ+1=2λ=λ2=0,而找不到λ使此式成立,
所以f(x)=x2不是一个“λ-伴随函数”,故②不正确.
对于③,令x=0,得f(0+
)+1 2
f(0)=0,所以f(1 2
)=-1 2
f(0).1 2
当f(0)=0时,显然f(x)=0有实数根;
当f(0)≠0时,f(
)•f(0)=-[1 2
f(0)]2<0.因为函数f(x)函数图象是连续不断的,1 2
所以f(x)在(0,
)上必有实数根,1 2
综上所述,因此“
-伴随函数”至少有一个零点.故③正确.1 2
故答案为:A