问题
解答题
已知抛物线C的顶点是椭圆
（Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）若P（a，0）为x轴上一动点，过P点作直线交抛物线C于A、B两点． （ⅰ）设S△AOB=t•tan∠AOB，试问：当a为何值时，t取得最小值，并求此最小值． （ⅱ）若a=-1，点A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过定点． |
答案
（Ⅰ）由题意，设抛物线C的标准方程为y2=2px（x＞0），焦点F（
，0），p 2
∵椭圆
+x2 4
=1的右焦点为（1，0），y2 3
∴
=1，即p=2，p 2
∴抛物线方程为：y2=4x，…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB：my=x-a．
联立
，消x得my=x-a y2=4x
-my-a=0，y2 4
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-4a，x1x2=
=a2，…（6分）y 21 y 22 16
由S△AOB=
|OA|•|OB|•sin∠AOB1 2
=
|OA|•|OB|•cos∠AOB•tan∠AOB，1 2
∴t=
|OA|•|OB|•cos∠AOB，1 2
∵|OA|•|OB|•cos∠AOB=
•OA
=x1x2+y1y2，…（8分）OB
∴t=
(x1x2+y1y2)=1 2
(a2-4a)=1 2
(a-2) 2-2≥-2，1 2
∴当a=2时，t有最小值一2．…（10分）
（ⅱ）由（ⅰ）可知D（x1，-y1），y1+y2=4m，y1y2=4，
直线BD的方程为y-y2=
•(x-x2)，y1+y2 x2-x1
即y-y2=
•(x-y2+y1
-y 22 4 y 21 4
)y 22 4
y=y2+
(x-4 y2-y1
)y 22 4
∴y=
x-4 y2-y1
=4 y2-y1
(x-1)，4 y2-y1
∴直线BD过定点（1，0）．…（14分）