问题
解答题
已知直角△OAB的直角顶点O为原点,点A、B在抛物线y2=2px(p>0)上,原点在直线AB上的射影为点D(2,1),求抛物线的方程.
答案
∵原点在直线AB上的射影为点D(2,1),
∴直线AB的斜率为kAB=-2,
∴线AB的方程lAB:y-1=-2(x-2),
整理得:2x+y-5=0…(4分)
将2x=5-y代入y2=2px(p>0)
得y2+py-5p=0,…(6分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程y2+py-5p=0的两根.
∵OA⊥OB,
∴x1x2+y1y2=0,…(8分)
∴y1y2-(y1+y2)+5=0,
∴-5p+p+5=0,
∴p=
,5 4
∴y2=
x…(12分)5 2