问题 解答题

已知直角△OAB的直角顶点O为原点,点A、B在抛物线y2=2px(p>0)上,原点在直线AB上的射影为点D(2,1),求抛物线的方程.

答案

∵原点在直线AB上的射影为点D(2,1),

∴直线AB的斜率为kAB=-2,

∴线AB的方程lAB:y-1=-2(x-2),

整理得:2x+y-5=0…(4分)

将2x=5-y代入y2=2px(p>0)

得y2+py-5p=0,…(6分)

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程y2+py-5p=0的两根.

∵OA⊥OB,

∴x1x2+y1y2=0,…(8分)

∴y1y2-(y1+y2)+5=0,

∴-5p+p+5=0,

∴p=

5
4

∴y2=

5
2
x…(12分)

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