已知直角△OAB的直角顶点O为原点，点A、B在抛物线y2=2px（p＞0）

问题解答题

已知直角△OAB的直角顶点O为原点，点A、B在抛物线y²=2px（p＞0）上，原点在直线AB上的射影为点D（2，1），求抛物线的方程．

答案

∵原点在直线AB上的射影为点D（2，1），

∴直线AB的斜率为k_AB=-2，

∴线AB的方程l_AB：y-1=-2（x-2），

整理得：2x+y-5=0…（4分）

将2x=5-y代入y²=2px（p＞0）

得y²+py-5p=0，…（6分）

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程y²+py-5p=0的两根．

∵OA⊥OB，

∴x₁x₂+y₁y₂=0，…（8分）

∴y₁y₂-（y₁+y₂）+5=0，

∴-5p+p+5=0，

∴p=

，

∴y²=

x…（12分）