问题
解答题
曲线C上的每一点到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x=-2的距离相等．
（Ⅰ）求出曲线C的标准方程；
（Ⅱ） 若直线y=x-2与曲线C交于A，B两点，求弦AB的长．
答案
（Ⅰ）∵曲线C上的每一点到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x=-2的距离相等，
∴轨迹为焦点在x轴上，以F（2，0）为焦点的抛物线
标准方程为：y2=8x
（Ⅱ）方法1：联立直线y=x-2与抛物线y2=8x
得
得：（x-2）2=8xy=x-2 y2=8x
∴x2-12x+4=0，x1+x2=12，x1x2=4
（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=144-16=128
∴|AB|=
=16(1+k2)(x1-x2)2
直线和抛物线相交弦的长为16（12分）
（Ⅱ）方法2：直线y=x-2过抛物线的焦点F（2，0），AB为抛物线的焦点弦
y2=8x，p=4
联立直线y=x-2与抛物线y2=8x
得：（x-2）2=8xy=x-2 y2=8x
x2-12x+4=0，x1+x2=12
AB为抛物线的焦点弦，根据抛物线焦点弦的弦长公式：|AB|=x1+x2+p=16
∴直线和抛物线相交弦的长为16