问题
解答题
已知函数f(x)=x2-2|x|。
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断函数f(x)在(-1，0)上的单调性并加以证明。
答案
解：（1）f(x)是偶函数，定义域是R，
∵f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x)，
∴函数f(x)是偶函数。
（2）f(x)是单调递增函数，
证明：当x∈(-1，0)时，f(x)=x2+2x，
设-1＜x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，且x1+x2＞-2，即x1+x2+2＞0，
∵f(x1)-f(x2)=(x12-x22)+2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2+2)＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)在(-1，0)上是单调递增函数。