已知二次函数y₁=x²-2x-3及一次函数y₂=x+m。

（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；

（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y₂=x+m有三个不同公共点时m的值；

（3）当0≤x≤2时，函数y=y₁+y₂+（m-2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围。

冰心的《繁星·春水》是在印度诗人泰戈尔《飞鸟集》影响下写成的，其三大主题分别是________、________、________。