问题
问答题
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；
(Ⅱ)存在两个不同的点η，ξ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ξ)=1．
答案
参考答案：[证明] (Ⅰ)令F(x)=f(x)-1+x x∈[0，1]
由题设知，F(x)在[0，1]上连续，又
F(0)=f(0)-1=-1＜0，F(1)=f(1)=1＞0
由连续函数的零点定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，
即
f(ξ)=1-ξ．
(Ⅱ)在区间[0，ξ]和[ξ，1]上分别对f(x)用拉格朗日中值定理得
此时，
