（本小题满分14分）

（1）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．．…（1分）

证明如下：

任取0＜x₁＜x₂

f（x₁）-f（x₂）=

1

a

-

1

x1

-

1

a

+

1

x2

=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

．…（3分）

∵0＜x₁＜x₂

∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

∴f（x）在（0，+∞）上为增函数..…（6分）

（2）由（1）知函数f（x）在区间[

1

2

，2]上是增函数，值域为[

1

2

，2]，．…（7分）

∴f（

1

2

）=

1

2

，f（2）=2，．…（9分）

即

1 a -2= 1 2 1 a - 1 2 =2

，解得a=

2

5

..…（11分）

（3）设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），

∴f（-x）=

1

a

-

1

-x

=

1

a

+

1

x

．…（12分）

又因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=

1

a

-

1

-x

=

1

a

+

1

x

..…（14分）