问题
解答题
| 已知各项均为正实数的数列{an}的前n项和为Sn，4Sn=an2+2an-3对于一切n∈N*成立． （Ⅰ）求a1； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）设bn=
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答案
（Ⅰ）当n=1时，4S1=4a1=a1 2+2a1-3，，得a12-4a1-3=0，
a1=3或a1=-1，由条件an＞0，所以a1=3． …（2分）
（Ⅱ）当n≥2时，4Sn=an2+2an-3，4sn-1=an-12+2an-1-3；
则4Sn-4Sn-1=an2+2an-3-an-12-2an-1+3，
所以4an=an2+2an-an-12-2an-1，an2-2an-an-12-2an-1=0，
（an+an-1）（an-an-1-2）=0，…（4分）
由条件an+an-1＞0，所以an-an-1=2，…（5分）
故正数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以an=2n+1． …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）bn=
=2an-1
=2n，22n+1-1
=an bn
，…（8分）2n+1 2n
∴Tn=
+3 2
+…+5 22
+2n-1 2n-1
，①…（9分）2n+1 2n
将上式两边同乘以
，得1 2
Tn=1 2
+3 22
+…+5 23
+2n-1 2n
②…（10分）2n+1 2n+1
①-②，得
Tn=1 2
+3 2
+2 22
+…+2 23
-2 2n
=2n+1 2n+1
-5 2
，2n+5 2n+1
即Tn=5-
．…（12分）2n+5 2n
∵n∈N*，∴
＞02n+5 2n
∴Tn＜5．…（13分）