问题
解答题
| 设数列{an}是首项为6，公差为1的等差数列；Sn为数列{bn}的前n项和，且Sn=n2+2n （1）求{an}及{bn}的通项公式an和bn； （2）若对任意的正整数n，不等式
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答案
（1）an=a1+（n-1）d=6+n-1=n+5
又当n=1时，b1=S1=3；
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1
上式对n=1也成立，
∴bn=2n+1（n∈N*），总之，an=n+5，bn=2n+1
（2）将不等式变形并把an=n+5代入得：a≤
(1+1 2n+3
)(1+1 b1
)(1+1 b2
)…(1+1 b3
)，g(n)=1 bn
(1+1 2n+3
)(1+1 b1
)…(1+1 b2
)1 bn
∴g(n+1)=
(1+1 2n+5
)(1+1 b1
)…(1+1 b2
)1 bn+1
∴
=g(n+1) g(n)
(1+2n+3 2n+5
)=1 bn+1
•2n+3 2n+5
=2n+4 2n+3 2n+4 2n+5 2n+3
又∵
＜(2n+5)(2n+3)
=2n+4(2n+5)+(2n+3) 2
∴
＞1，即g（n+1）＞g（n）g(n+1) g(n)
∴g（n）随n的增大而增大，g(n)min=g(1)=
(1+1 5
)=1 3
，4 5 15
∴0＜a≤4 5 15